Question

如圖，設(shè)圓x²+y²=12與拋物線x²=4y相交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點．
（I）若過點F且斜率為1的直線l與拋物線和圓交于四個不同的點，從左至右依次為P₁，P₂，P₃，P₄，求|P₁P₂|+|P₃+P₄|的值；
（II）若直線m與拋物線相交于M，N兩點，且與圓相切，切點D在劣弧上，求|MF|+|NF|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由圓的方程和拋物線的方程聯(lián)解，求得交點A、B的坐標(biāo)，從而判斷直線l與圓交于P₁、P₃，直線l與拋物線交于P₂、P_4，
另|P₁P₂|+|P₃+P₄|的表達(dá)式用P₁，P₂，P₃，P₄的四點的橫坐標(biāo)表示，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，代入表達(dá)式，即解．
（II）先設(shè)直線m的方程y=k+b，交點M、N坐標(biāo)，再用點M、N縱坐標(biāo)表示出|MF|+|NF|，由與圓相切，得到k與b的關(guān)系，
消去k用b表示|MF|+|NF|，即得到關(guān)于b的一個函數(shù)，由，得到k的范圍，由此求得b的范圍，
再將b的代入|MF|+|NF|的函數(shù)關(guān)系式中并求出其范圍．
解答：解：（1）由，得或，
即A（，2），B（，2）．
∵點F坐標(biāo)為（0，1），∴，
所以直線l與圓交于P₁、P₃兩點，與拋物線交于P₂、P₄兩點，
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄）
把直線l方程：y=x+1代入x²=4y，得x²-4x-4=0，∴x₂+x₄=4；
把直線l方程：y=x+1代入x²+y²=12，得2x²+2x-11=0，∴x₁+x₃=-1
∴
∴
∴=
=．
所以|P₁P₂|+|P₃+P₄|的值等于．
（II）設(shè)直線m的方程為y=k+b（b＞0），
代入拋物線方程得x²-4kx-4b=0，
設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，
則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=4k²+2b，
∵直線m與該圓相切，∴，
又|MF|=y₁+1，|NF|=y₂+1，
∴|MF|+|NF|=y₁+y₂+2=4k²+2b+2=
∵，∴分別過A、B的圓的切線的斜率為．
∴∴0≤k²≤2，∴，∴
所以|MF|+|NF|的取值范圍為．
點評：此題考查用坐標(biāo)法解決圓錐曲線問題，在解題過程中還考查了弦長公式的運用，同時還考查學(xué)生的計算技巧中設(shè)而不求的方法．