Question

（本題滿(mǎn)分15分）已知函數(shù) 且導(dǎo)數(shù).
（Ⅰ）試用含有的式子表示，并求單調(diào)區(qū)間; （II）對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)（其中）使得點(diǎn)處的切線(xiàn)，則稱(chēng)存在“伴侶切線(xiàn)”.特別地，當(dāng)時(shí)，又稱(chēng)存在“中值伴侶切線(xiàn)”.試問(wèn)：在函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)、使得它存在“中值伴侶切線(xiàn)”，若存在，求出、的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

(Ⅰ)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減  (Ⅱ)  不存在

（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823131317500410.gif" style="vertical-align:middle;" /> ， 得：  …2分 代入： 得
當(dāng)時(shí)， 由 ，得
又  即 在上單調(diào)遞增          ……4分
當(dāng)時(shí)， 由 ，得
又  即 在上單調(diào)遞減
 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減             ……6分
（II） 在函數(shù)上不存在兩點(diǎn)A、B使得它存在“中值伴侶切線(xiàn)”。
假設(shè)存在兩點(diǎn)，不妨設(shè)，則
，

=     ……8分
在函數(shù)圖象處的切線(xiàn)斜率
  
得：
化簡(jiǎn)得：， …… 11分
令，則，上式化為：，即
若令，
由， 在上單調(diào)遞增，
這表明在內(nèi)不存在，使得             ……14分
綜上所述，在函數(shù)上不存在兩點(diǎn)A、B使得它存在“中值伴侶切線(xiàn)”。 …15分