Question

如圖，已知OPQ是半徑為

3

，圓心角為

π

3

的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠COP=x，矩形ABCD的面積為f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫出其定義域；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）+f（x+

π

4

）的最大值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先把矩形的各個(gè)邊長用角x表示出來，進(jìn)而表示出矩形的面積；
（2）先將函數(shù)y=f（x）+f（x+

π

4

）的解析式化為正弦型函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到答案．

解答： 解：（1）在Rt△OBC中，OB=OC•cosx=

3

cosx，BC=OC•sinx=

3

sinx，
在Rt△OAD中，

DA

OA

=tan60°=

3

，
∴OA=

3

3

BC=sinx，
∵AB=OB-OA=

3

cosx-sinx，
∴f（x）=S=AB•BC=（

3

cosx-sinx）•

3

sinx
=3sinx•cosx-

3

sin²x
=

3

2

sin2x-

3

2

（1-cos2x）
=

3

sin（2x+

π

6

）-

3

2

，x∈（0，

π

3

）…（6分）
（Ⅱ）由x∈（0，

π

3

），x+

π

4

∈（0，

π

3

），得x∈（0，

π

12

）
而y=f（x）+f（x+

π

4

）=

3

sin（2x+

π

6

）-

3

2

+

3

sin[2（x+

π

4

）+

π

6

]-

3

2

=

3

[sin（2x+

π

6

）+cos（2x+

π

6

）]-

3

=

6

sin（2x+

5π

12

）-

3

，
由2x+

5π

12

∈（

5π

12

，

7π

12

），
故當(dāng)2x+

5π

12

=

π

2

，即x=

π

24

時(shí)，y取最大值

6

-

3

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進(jìn)行化簡，屬于中檔題．