Question

3．如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4點D是AB的中點．
（1）求證：AC₁∥平面B₁DC；
（2）求三棱錐A₁-B₁CD的體積．

Answer 1

分析 （1）設B₁C∩BC₁=E，連結(jié)DE，則DE∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面B₁DC．
（2）在△ABC中，過C作CF⊥AB，垂足為F，由${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}CD}$=${V}_{C-{A}_{1}D{B}_{1}}$，能求出三棱錐A₁-B₁CD的體積．

解答 證明：（1）設B₁C∩BC₁=E，
∵在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中BB₁C₁C是矩形，∴E是BC₁的中點，
連結(jié)DE，∵點D是AB的中點，∴DE∥AC₁，
∵DE?平面B₁DC，AC₁?平面B₁DC，
∴AC₁∥平面B₁DC．
解：（2）在△ABC中，過C作CF⊥AB，垂足為F，
由面ABB₁A₁⊥面ABC，知CF⊥面ABB₁A₁，
∴${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}CD}$=${V}_{C-{A}_{1}D{B}_{1}}$，
∵${S}_{△D{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}{A}_{1}{B}_{1}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{2}×5×4=10$，$CF=\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$．
三棱錐A₁-B₁CD的體積${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}CD}$=${V}_{C-{A}_{1}D{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×10×\frac{12}{5}=8$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．