精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知數列{an}滿足a1=a(a>2),an+1=
2+an
,n∈N*
(1)求證:an+1<an;
(2)若a=
3
2
2
,且數列{bn}滿足an=bn+
1
bn
,bn>1,求證:數列{lgbn}是等比數列,并求數列{an}的通項式;
(3)若a=2011,求證:當n≥12時,2<an<2+
1
2011
恒成立.(參考數據210=1024)
(1)an+1-an=
2+an
-
2+an-1

=
an-an-1
2+an
+
2+an-1
(n≥2),
上式表明an+1-an與an-an-1同號,
∴an+1-an,an-an-1,an-1-an-2,…,a2-a1同號,
∵a>2,
∴a2-a-2=(a-2)(a+1)>0,
∴a2>a+2,
a2=
a+2
<a
,a2-a1<0.
∴an+1-an<0,
故an+1<an
(2)∵an+1=bn+1+
1
bn+1

=
2+an

=
2+bn+
1
bn

bn+12+
1
bn+1 2
=bn+
1
bn

bn+14-(bn+
1
bn
)bn+1 2+1=0
,
注意到bn>1,
f(x)=x+
1
x
(x>0),f(x)=1-
1
x2
>0
,
∴f(x)在x>1時為增函數,而f(bn+12)=f(bn),
bn+12=bn,
∴2lgbn+1=lgbn,
lgbn+1
lgbn
=
1
2
,
∴數列{lgbn}是等比數列,
a1=b1+
1
b1
=
3
2
2
,b1=
2
lgb1=lg
2
,
lgbn=(
1
2
)
n-1
•lg
2
=(
1
2
)
n
•lg2
,
bn=2(
1
2
)
n
,
an=bn+
1
bn
=2(
1
2
)
n
+2-(
1
2
)
n

(3)∵當n≥2時,an-2=
2+an-1
-2
=
an-1-2
2+an-1
+2
,
上式表明:an-2與an-1-2同號,對一切n≥2成立,
∴an-2,an-1-2,…,a2-2,a1-2同號,
而a1-2>0,
∴an-2>0,an-1-2>0,
∵n≥2時,an-2=
an-1-2
2+an-1+2
an-1-2
2+2
+2
=
an-1-2
4
,
an-2
an-1-2
1
4

an-2
an-1-2
an-1-2
an-2-2
a3-2
a2-2
a2-2
a1-2

=
an-2
a1-2
(
1
4
)
n-1
,
∴0<an-2<(a1-2)•(
1
4
)
n-1

當a1=2011,n=12時,
a12-2=(2011-2)×(
1
4
)
12-1
=
2009
222
211
222
=
1
2 11
1
2011
,
a12<2+
1
2011
,
∵an>an+1
∴當n≥12時,2<an<2+
1
2011
恒成立.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數列bn-1是等比數列;
(2)求數列{anbn}的前n項和Sn
(3)數列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數n,不等式a1•a2•…an<2•n!

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

查看答案和解析>>

同步練習冊答案