Question

矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點M （2，0），AB邊所在直線的方程為：x-3y-6=0．若點N（1，-5）在直線AD上．
（1）求點A的坐標及矩形ABCD外接圓的方程；
（2）過直線x-y+4=0上一點P作（1）中所求圓的切線，設(shè)切點為E、F，求四邊形PEMF面積的最小值，并求此時

PE

•

PF

的值．

Answer 1

分析：（1）用點斜式求出直線AD方程，把它與AB邊所在直線的方程聯(lián)立方程組求出點A的坐標．再由圓心即點M （2，0），半徑等于AM=R=2

2

，求出矩形ABCD外接圓的方程．
（2）由切線性質(zhì)可得四邊形PEMF面積S=PE•R=R

PM2-R2

，根據(jù)PM的最小值即為圓心M到直線直線x-y+4=0的距離d，由此求得四邊形PEMF面積S的最小值．
設(shè)∠MPE=∠MPF=α，則sinα=

R

|PM|

=

2

3

，由

PE

•

PF

=

PE

2cos2α=

PE

2（1-2sin²α），運算求得結(jié)果．

解答：解：（1）∵AB⊥AD，AB邊所在直線的斜率為

1

3

，∴直線AD斜率為-3．
故 直線AD方程為 y+5=-3（x-1），即 3x+y+2=0．
由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

 解得

x=0 y=-2

，∴點A的坐標為（0，-2）．
由題意可得，矩形ABCD外接圓的圓心即點M （2，0），半徑等于AM=R=2

2

，
故矩形ABCD外接圓的方程為 （x-2）²+y²=8．
（2）由圓的切線性質(zhì)可得四邊形PEMF面積S=PE•R=R

PM2-R2

=2

2

•

PM2-8

．
由于PM的最小值即為圓心M到直線直線x-y+4=0的距離d=

|2-0+4|

2

=3

2

，
故四邊形PEMF面積S的最小值為 2

2

•

10

=4

5

．
此時，|

PE

|= |

PF

|=

10

，設(shè)∠MPE=∠MPF=α，則sinα=

R

|PM|

=

2

3

，
∴

PE

•

PF

=

PE

2cos2α=

PE

2（1-2sin²α）=10（1-2×

4

9

）=

10

9

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，求圓的標準方程的方法，圓的切線性質(zhì)，二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．