Question

定義函數(shù)f（k）表示k的最大奇因數(shù)，例如：f（1）=1，f（2）=1，f（3）=3，f（4）=1．
（1）f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=

 

．
（2）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡單的合情推理

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,推理和證明

分析：（1）由題意，f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=1+3+5+…+2n-1=n²，
（2）記S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ），從而可推出S_n=4^n-1+S_n-1，從而求出S_n-S_n-1=4^n-1；從而可得S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁=4^n-1+4^n-2+4^n-3+…+4+2=

1

3

4ⁿ+

2

3

．

解答： 解（1）由題意，f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2n-1）=1+3+5+…+2n-1=n²，
（2）記S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ），
則S_n-1=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2^n-1）；
S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2ⁿ）
=f（1）+f（3）+…+f（2^n-1）+[f（2）+f（4）+…+f（2ⁿ）]
=1+3+5+…+2^n-1+[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2^n-1）]
=4^n-1+S_n-1，
故S_n-S_n-1=4^n-1；
則S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁
=4^n-1+4^n-2+4^n-3+…+4+2
=

1

3

4ⁿ+

2

3

．
故答案為：n²，

1

3

4ⁿ+

2

3

．

點(diǎn)評：本題考查了合情推理的應(yīng)用及等差、等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．