Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中， CC₁⊥底面ABC，AC=BC，M，N分別是CC₁，AB的中點(diǎn)．

（1）求證：CN⊥AB₁；

（2）求證：CN//平面AB₁M．

 

Answer 1

【答案】

（1）如下（2）如下

【解析】

試題分析：證明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥底面ABC，

∴BB₁⊥平面ABC， ∴BB₁⊥CN．

∵AC=BC，N是AB的中點(diǎn)，∴CN⊥AB．

又∵AB∩BB₁=B，∴CN⊥平面AB B₁A₁，∴CN⊥AB₁．

（2）（方法一）連結(jié)A₁B交AB₁于P．∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，

∴P是A₁B的中點(diǎn)．∵M(jìn)，N分別是CC₁，AB的中點(diǎn)，

∴NP // CM，且NP = CM，∴四邊形MCNP是平行四邊形，

∴CN//MP．∵CN平面AB₁M，MP平面AB₁M，

∴CN //平面AB₁M．

（方法二）取BB₁中點(diǎn)P，連結(jié)NP，CP．

∵N，P分別是AB，BB₁的中點(diǎn)，∴NP //AB₁．

∵NP平面AB₁M，AB₁平面AB₁M，

∴NP //平面AB₁M．同理 CP //平面AB₁M．

∵CP∩NP =P，∴平面CNP //平面AB₁M．

∵CN平面CNP，∴CN //平面AB₁M．

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定定理；直線與平面垂直的判定定理

點(diǎn)評(píng)：直線與平面平行、垂直的判定定理是常考知識(shí)點(diǎn)。在證明時(shí)，需結(jié)合定理的條件寫，不可憑自己的主觀意識(shí)去寫。