Question

5．已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx在點（1，0）處的切線的斜率為0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k²-2k無公共點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，由函數(shù)f（x）在（1，0）處的切線斜率為0，即有f′（1）=0，f（1）=0，列方程可得m=-1，即可得到f（x）的解析式；
（2）求f（x）的導數(shù)，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，進而得到函數(shù)的極大值，也為最大值0，再由題意可得k²-2k＞0，解得即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx
的導數(shù)f′（x）=m（2x-4+$\frac{1}{x}$）-（2m²+1）+$\frac{2}{x}$，
由函數(shù)f（x）在（1，0）處的切線斜率為0，
即有f′（1）=0，f（1）=0，
即為2m²+m-1=0，且2m²+3m+1=0，
解得m=-1，
即有f（x）=-x²+x+lnx；
（2）f（x）=-x²+x+lnx的導數(shù)為f′（x）=-2x+1+$\frac{1}{x}$
=$\frac{-2{x}^{2}+x+1}{x}$=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
則有f（x）在x=1處取得極大值，也為最大值，且為0，
由于函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k²-2k無公共點，
則k²-2k＞0，
解得k＞2或k＜0．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間及極值、最值，正確求導和解二次不等式是解題的關(guān)鍵