Question

17．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)點(diǎn)F₁作直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若|MF₂|=|F₁F₂|，且3|MF₁|=4|NF₁|，則橢圓的離心率是$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可設(shè)|MF₁|=4，|NF₁|=3，運(yùn)用橢圓的定義，可得|NF₂|=2a-|NF₁|=2a-3，|MF₂|+|MF₁|=2a，即有2c+4=2a，取MF₁的中點(diǎn)K，連接KF₂，則KF₂⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），|MF₂|=|F₁F₂|=2c，
3|MF₁|=4|NF₁|，可設(shè)|MF₁|=4，|NF₁|=3，
由橢圓的定義可得|NF₂|=2a-|NF₁|=2a-3，
|MF₂|+|MF₁|=2a，即有2c+4=2a，
即a-c=2，①
取MF₁的中點(diǎn)K，連接KF₂，則KF₂⊥MN，
由勾股定理可得|MF₂|²-|MK|²=|NF₂|²-|NK|²，
即為4c²-4=（2a-3）²-25，化簡(jiǎn)即為a+c=12，②
由①②解得a=7，c=5，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{7}$．
故答案為：$\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的定義的運(yùn)用和離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．