Question

9．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)建立方程進(jìn)行求解即可求a，b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即f（0）=$\frac{b-1}{2+a}$=0，則b=1，
此時(shí)f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+a}$，
且f（-x）=-f（x），
則$\frac{1-{2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+a}$=-$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+a}$，
即$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}•{2}^{-x+1}+a•{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{2+a•{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x+1}+a}$，
則2+a•2^x=2•2^x+a，
則a=2；
（2）當(dāng)a=2，b=1時(shí)，f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$）=$\frac{1}{2}$•$\frac{2-（1+{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=$\frac{1}{1+{2}^{x}}$-$\frac{1}{2}$
f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)，用定義證明如下；
任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{1+{2}^{{x}_{1}}}$$-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{{x}_{2}}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{1+{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{1+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{1+{2}^{{x}_{2}}-1-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$；
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，1+${2}^{{x}_{1}}$＞0，1+${2}^{{x}_{2}}$＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷與應(yīng)用問(wèn)題，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．