Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上，且直線平面，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，再標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量的應(yīng)用即可得證；

（2）求出平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，再利用數(shù)量積公式求解即可；

（3）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使平面，由求解即可.

證明：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，

則，，，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，

則由，得，取，得.

，，

又平面，

平面.

（2）解：由（1）知是平面的一個(gè)法向量，

又是平面的一個(gè)法向量.

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，,

故二面角的平面角的余弦值為.

（3）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使平面，

設(shè)，

則，

，，，

由得，

解得，

，

則.