Question

19．如圖，在空間四邊形ABCD中，連接AC，BD，E，F(xiàn)分別是邊AC．BD的中點，設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CD}$=5$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow$-8$\overrightarrow{c}$，試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{EF}$．

Answer 1

分析 把$\overrightarrow{EF}$分解為用已知向量表示的形式，可作圖幫助分析已知向量與未知向量之間的關系，要注意中點向量表示中的特殊含意

解答 解：如圖：
∵$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$
又$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}$，
兩式相加，得
2$\overrightarrow{EF}=（\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}）+（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}）$+（$\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{DF}$）
∵E是AC的中點，
故$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}$，
同理，$\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{0}$
∴2$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）+（5$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow$-8$\overrightarrow{c}$）=6$\overrightarrow{a}$+6$\overrightarrow$-10$\overrightarrow{c}$），
∴$\overrightarrow{EF}$=3$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$-5$\overrightarrow{c}$），
故答案為：3$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$-5$\overrightarrow{c}$．

點評 本題考查的知識點是平面向量加（減）法的幾何意義，處理的關鍵是：用已知向量表示未知向量的關鍵是將未知向量“湊配”成用已知向量表示的形式．其核心是向量加減法的“三角形”法則