Question

與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三條棱AB、CC₁、A₁D₁所在直線的距離相等的點(diǎn)（ ）
A．有且只有1個(gè)
B．有且只有2個(gè)
C．有且只有3個(gè)
D．有無數(shù)個(gè)

Answer 1

【答案】分析：由于點(diǎn)D、B₁顯然滿足要求，猜想B₁D上任一點(diǎn)都滿足要求，然后想辦法證明結(jié)論．
解答：解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁上建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
并設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為1，連接B₁D，并在B₁D上任取一點(diǎn)P，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214029161196680/SYS201310232140291611966002_DA/0.png">=（1，1，1），
所以設(shè)P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A₁D，垂足為E，再作EF⊥A₁D₁，垂足為F，
則PF是點(diǎn)P到直線A₁D₁的距離．
所以PF=；
同理點(diǎn)P到直線AB、CC₁的距離也是．
所以B₁D上任一點(diǎn)與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三條棱AB、CC₁、A₁D₁所在直線的距離都相等，
所以與正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三條棱AB、CC₁、A₁D₁所在直線的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查合情推理的能力及空間中點(diǎn)到線的距離的求法．