Question

如圖，平面EAD⊥平面ABCD，△EAD為正三角形，四邊形ABCD為矩形，F(xiàn)是CD中點，EB與平面ABCD成30°角．
（1）當(dāng)AD長度為何值時，點A到平面EFB的距離為2？
（2）二面角A-BF-E的大小是否與AD的長度有關(guān)？請說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD的中點O，連接OE、OB，由，△EAD為正三角形，平面EAD⊥平面ABCD，由等腰三角形性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)，可得EO⊥平面ABCD，由EB與平面ABCD成30°角設(shè)AD=2a，則可以以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間坐標(biāo)系，分別求出對應(yīng)點的坐標(biāo)，根據(jù)點A到平面EFB的距離=2，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可求出AD長．
（2）結(jié)合（1）的結(jié)合，求出平面EFB與平面ABCD的法向量，代入向量夾角公式，即可求出答案．
解答：解：（1）取AD的中點O，連接OE、OB，
則EO⊥AD，EO⊥平面ABCD
于是∠EBO=30°
設(shè)AD=2a，則EO=a，AB=2a，OB=3a
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則a=（a，0，0），B（a，2a，0），E=（0，0，a），F(xiàn)（-a，a，0）
∴=（-a，a，-a），=（a，2a，-a），=（a，0，a），
∴可求得平面EFB的法向量=（1，-，-），||=
∴=2
∴AD=   （6分）
（2）平面ABCD的一個法向量=（0，0，1）
設(shè)二面角A-BF-E的大小為θ
則cosθ==
∴AD長度不影響二面角A-BF-E的大小 （12分）
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，點到平面的距離計算，其中建立空間坐標(biāo)系，利用向量法解答點到平面的距離及二面角問題是解答本題的關(guān)鍵．