Question

一個倒置的圓錐形漏斗，底面半徑是3cm，母線長是5cm，把一個球放在漏斗內(nèi)，圓錐的底面正好和球相切，則這個球的表面積是

 

．

Answer 1

分析：如圖所示，作出圓錐的軸截面△SAB，可得題中球的半徑恰好為△SAB的內(nèi)切圓半徑．因此根據(jù)三角形的面積公式算出球的半徑r=

3

2

cm，再利用球的表面積公式即可算出球的表面積．

解答：解：設(shè)圓錐底面圓的圓心為O，連結(jié)SO，作出圓錐的軸截面△SAB．
則SA=SB=5cm，AB=2×3=6cm．
∵Rt△SOA中，OS=

SA2-OA2

=4cm，
∴△SAB的面積S_△SAB=

1

2

AB×OS=12cm²，
設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為r，則球大圓是△SAB的內(nèi)切圓，
可得S_△SAB=

1

2

（SA+SB+AB）×r=12，
即

1

2

（5+5+6）×r=12，解之得r=

3

2

cm，
∴圓錐內(nèi)切球的表面積S=4πr²=4π×(

3

2

)2=9πcm²．
故答案為：9πcm²

點評：本題求給定圓錐的內(nèi)切球的表面積，著重考查了圓錐的軸截面、三角形的內(nèi)切圓半徑求法和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．