Question

教材上一例問(wèn)題如下：
一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表，試建立y與x之間的回歸方程．

溫度x/℃	21	23	25	27	29	32	35
產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)	7	11	21	24	66	115	325

某同學(xué)利用智能手機(jī)上的Mathstudio軟件研究它時(shí)（如圖所示），分別采用四種模型，所得結(jié)果如下：

	①	②	③	④
模型	y=ax+b	y=aebx	y=ax2+c	y=ax3+bx2+cx+d
計(jì)算結(jié)果	a=19.87 b=-463.731 v=0.864	a=0.015 b=0.284 v=0.993	a=0.367 c=-202.171 v=0.896	a=0.271 b=-20.171 c=801.638 v=0.995

根據(jù)上表，易知當(dāng)選擇序號(hào)為

 

的模型是，擬合效果較好．

Answer 1

考點(diǎn)：線性回歸方程,回歸分析

專題：數(shù)學(xué)模型法

分析：畫出散點(diǎn)圖，初步判斷是何種模型，再根據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)一步確定是哪一種擬合效果較好．

解答： 解：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，作散點(diǎn)圖，如圖．
從圖中可以看出，樣本點(diǎn)并沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，
因此兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，
所以不能直接利用線性回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系，
根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y=ae^bx的附近，其中a，b為待定的參數(shù)．
我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫�性關(guān)系，
令z=lny，則變換后樣本點(diǎn)分布在直線z=bx+c（c=lna）的附近，這樣可以利用線性回歸建立y與x的非線性回歸方程了．
變換的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來(lái)擬合．
     由上表中的數(shù)據(jù)可得到變換的樣本數(shù)據(jù)表，如下表：

x	21	23	25	27	29	32	35
z	1.946	2.398	3.045	3.178	4.190	4.745	5.784

可以求得線性回歸直線方程

∧

z

=0.272x-3.843．
    因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對(duì)溫度的非線性回歸方程=e^0.272x-3.843．另一方面，可以認(rèn)為圖中的樣本點(diǎn)集中在某二次曲線y=c₃x²+c₄的附近，其中c₃，c₄為待定參數(shù)，因此可以對(duì)溫度變量進(jìn)行變換，即令t=x²，然后建立y與t之間的線性回歸方程，從而得到y(tǒng)與x之間的非線性回歸方程．
    下表是紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和對(duì)應(yīng)的溫度的平方的線性回歸模型擬合表，作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖，如圖：

t	441	529	625	729	841	1 024	1 225
y	7	11	21	24	66	115	325

從圖中可以看出，y與t的散點(diǎn)圖并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程來(lái)擬合它，即不宜用二次函數(shù)y=c₃x²+c₄來(lái)擬合x與y之間的關(guān)系，因此利用y=ae^bx來(lái)擬合效果較好．
故答案為：②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程及回歸分析，解題時(shí)應(yīng)先畫出散點(diǎn)圖，初步判斷是何種模型，然后進(jìn)一步確定是哪一種模型，本題屬于基礎(chǔ)題．