Question

已知函數(shù)f（x）=

x

ex

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（0，

4

e2

）作直線y=f（x）相切，求證：這樣的直線l至少有兩條，且這些直線的斜率之和m∈（

e2-1

e2

，

2e2-1

e2

）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)后根據(jù)正負(fù)求單調(diào)性，及極值；（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖象可得結(jié)果．

解答： 解（Ⅰ）由題知f′(x)=

1-x

ex

(x∈R)，
當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，x＜1，當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，x＞1，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，1），減區(qū)間為（1，+∞），
其極大值為f(1)=

1

e

，無極小值．
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，f（x₀）），則所作切線的斜率k=f′(x0)=

1-x0

ex0

，
所以直線l的方程為：y-

x0

ex0

=

1-x0

ex0

(x-x0)，
注意到點(diǎn)P(0，

4

e2

)在l上，所以

4

e2

-

x0

ex0

=

1-x0

ex0

(-x0)，
整理得：

x02

ex0

-

4

e2

=0，故此方程解的個(gè)數(shù)，即為可以做出的切線條數(shù)，
令g(x)=

x2

ex

-

4

e2

，則g′(x)=-

x(x-2)

ex

，
當(dāng)g'（x）＞0時(shí)，0＜x＜2，當(dāng)g'（x）＜0時(shí)，x＜0或x＞2，
所以，函數(shù)g（x）在（-∞，0），（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（0，2）上單調(diào)遞增，
注意到g(0)=-

4

e2

＜0，g(2)=0，g(-1)=e-

4

e2

＞0，
所以方程g（x）=0的解為x=2，或x=t（-1＜t＜0），
即過點(diǎn)P(0，

4

e2

)恰好可以作兩條與曲線y=f（x）相切的直線．
當(dāng)x=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的切線斜率k1=f′(2)=-

1

e2

，
當(dāng)x=t時(shí)，對(duì)應(yīng)的切線斜率k2=

1-t

et

，
令h(t)=

1-t

et

(-1＜t＜0)，則h′(t)=

t-2

et

＜0，
所以h（t）在（-1，0）上為減函數(shù)，即1=h（0）＜h（t）＜h（-1）=2e，1＜k₂＜2e，
所以m=k1+k2∈(

e2-1

e2

，

2e3-1

e2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想．