Question

【題目】已知數(shù)列（其中第一項是，接下來的項是，再接下來的項是，依此類推）的前項和為，下列判斷：

①是的第項；②存在常數(shù)，使得恒成立；③；④滿足不等式的正整數(shù)的最小值是.

其中正確的序號是（ ）

A.①③B.①④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

找出數(shù)列的規(guī)律：分母為的項有項，并將這些項排成楊輝三角形式的數(shù)陣，使得第有項，每項的分母均為，并計算出每行各項之和，并計算出數(shù)列的前項和，結(jié)合這些規(guī)律來判斷各題的正誤。

由題意可知，數(shù)列的規(guī)律為：分母為的項有項，將數(shù)列中的項排成楊輝三角數(shù)陣，且使得第行每項的分母為，該行有項，如下所示：

對于命題①，位于數(shù)陣第行最后一項，對應于數(shù)列的項數(shù)為

，命題①正確；

對于命題②，數(shù)陣中第行各項之和為，則，

且數(shù)列的前項之和為

，

當時，，因此，不存在正數(shù)，使得，命題②錯誤；

對于命題③，易知第行最后一項位于數(shù)列的項數(shù)為

，

第行最后一項位于數(shù)列的項數(shù)為，且，

則位于數(shù)陣第行第項（即），

所以，

，命題③錯誤；

由①知，，且，

則恰好滿足的項位于第行，假設位于第項，

則有，可得出，

由于，，則，，

因此，滿足的最小正整數(shù)，命題④正確。

故選：B.