Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=xln（ax）（a＞0）
（1）設(shè)F（x）= 2+f'（x），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（2）過兩點(diǎn)A（x1 ， f′（x1）），B（x2f′（x2））（x1＜x2）的直線的斜率為k，求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ln（ax）+1，所以 ，

函數(shù)F（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），而 ．

…（2分）

①當(dāng)lna≥0時(shí)，即a≥1時(shí)，恒有F′（x）≥0，函數(shù)F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

②當(dāng)lna＜0，即0＜a＜1時(shí)，令F′（x）＞0，得（lna）x2+1＞0，解得 ；

令F′（x）＜0，得（lna）x2+1＜0，解得 ；

綜上，當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)F（x）在 上為增函數(shù)，在 上為減函數(shù)．

（2）證明： = ，

要證 ，因?yàn)閤2﹣x1＞0，

即證 ，令 ，則t＞1，

則只要證

①設(shè)g（t）=t﹣1﹣lnt，則 ，

故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

所以當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt成立．

②要證 ，由于t＞1，即證t﹣1＜tlnt，

設(shè)h（t）=tlnt﹣（t﹣1），則h'（t）=lnt＞0（t＞1），

故函數(shù)h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，

所以當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt成立．

由①②知成立，得證

【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，化簡(jiǎn)F（x）= 2+f'（x），然后求解F（x）的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；（2）求出過兩點(diǎn)A（x1 ， f′（x1）），B（x2f′（x2））（x1＜x2）的直線的斜率k的表達(dá)式，利用分析法證明 ．轉(zhuǎn)化為證明 ，通過左右兩個(gè)不等式，兩次構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最值即可證明．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．