有關(guān)方程3x+4x=5x的根的情況的四種說法中,正確的是( 。
分析:由于3,4,5是一組勾股數(shù),能得到一個(gè)解x=2.設(shè)函數(shù)f(x)=3x+4x-5x,f(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)g(x)=1+(
4
3
x-(
5
3
x=0.由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能推導(dǎo)出f(x)實(shí)根唯一.
解答:解:由于3,4,5是一組勾股數(shù),能得到一個(gè)解x=2.
設(shè)函數(shù)f(x)=3x+4x-5x,
f(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)g(x)=1+(
4
3
x-(
5
3
x=0時(shí)成立.
對(duì)g(x)求導(dǎo)
g'(x)=ln(
4
3
)•(
4
3
x-ln(
5
3
)•(
5
3
x,
對(duì)g'(x)作類似處理,令h(x)=ln(
4
3
)•(
4
3
x-ln(
5
3
)•(
4
5
x,
則g'(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)h(x)=0成立,且h(x)與g'(x)都是單調(diào)遞增函數(shù).
∵h(yuǎn)(x)是單調(diào)遞增函數(shù),∴h(x)=0有唯一解.
∵g'(x)是單調(diào)遞增函數(shù),∴g'(x)>0,
∴g(x)是單調(diào)遞增函數(shù),∴g(x)實(shí)根唯一.
所以f(x)實(shí)根唯一.
故選A.
點(diǎn)評(píng):本題考查方程的根的情況的判斷,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

有關(guān)方程3x+4x=5x的根的情況的四種說法中,正確的是


  1. A.
    只有一個(gè)有理數(shù)根
  2. B.
    只有一個(gè)無理數(shù)根
  3. C.
    共有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
  4. D.
    沒有實(shí)數(shù)根

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省佛山一中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

有關(guān)方程3x+4x=5x的根的情況的四種說法中,正確的是( )
A.只有一個(gè)有理數(shù)根
B.只有一個(gè)無理數(shù)根
C.共有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
D.沒有實(shí)數(shù)根

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省佛山一中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

有關(guān)方程3x+4x=5x的根的情況的四種說法中,正確的是( )
A.只有一個(gè)有理數(shù)根
B.只有一個(gè)無理數(shù)根
C.共有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
D.沒有實(shí)數(shù)根

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