Question

已知一正六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該正六棱柱的體積為

9

8

，底面周長(zhǎng)為3，那么這個(gè)球的體積為

4π

3

．

Answer 1

分析：作出經(jīng)過(guò)底面最長(zhǎng)對(duì)角線的正六棱柱的截面，設(shè)上、下底面中心分別為O₁、O₂，則球心O必定在OO₁的中點(diǎn)，根據(jù)底面周長(zhǎng)為3，結(jié)合棱柱體積公式算出它的高為

3

，然后在Rt△AOO₁中利用勾股定理算出AO長(zhǎng)，即外接球的半徑R，最后可用球體積公式得到外接球的體積．

解答：解：如圖是經(jīng)過(guò)底面最長(zhǎng)對(duì)角線的正六棱柱的截面，
設(shè)正六棱柱上、下底面中心分別為O₁、O₂，
則球心O必定在OO₁的中點(diǎn)，根據(jù)題意得底面正六邊形的邊長(zhǎng)為

1

6

×3=

1

2

，
所以底面積S=6×

3

4

×（

1

2

）²=

3 3

8

∵該正六棱柱的體積為V=Sh=

3 3

8

•h=

9

8

，
∴正六棱柱的高h(yuǎn)=

9 8

3 3 8

=

3

，得OO₁=

3

2

所以Rt△AOO₁中，AO=

OO12+AO12

=1，即外接球的半徑R=1
∴正六棱柱的外接球的體積V球=

4π

3

×R³=

4π

3

故答案為：

4π

3

點(diǎn)評(píng)：本題已知正六棱柱的底面周長(zhǎng)和體積，求六棱柱的外接球的體積，著重考查了正棱柱的性質(zhì)和球內(nèi)接多面體的知識(shí)，考查了球的截面圓性質(zhì)和球體積公式，屬于基礎(chǔ)題．