Question

我們定義雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線與直線y=±b的交點(diǎn)為“虛近點(diǎn)”，如圖點(diǎn)P是雙曲線C在第一象限的漸近點(diǎn)，直線y=b與雙曲線C的左、右分支分別交于點(diǎn)A、B，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：PF₁⊥PF₂；
（2）求證：PF₁平分∠APO；
（3）你能否在未證明（1）下，直接證明（2）？請寫下你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，分析“虛近點(diǎn)”的定義，聯(lián)立由

y= b a x y=b

得P的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的公式，計算

PF1

•

PF2

，可得其結(jié)果為0，即可證PF₁⊥PF₂；
（2）由（1）知△F₁PF₂為直角三角形，且O為斜邊F₁F₂的中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)，可得∠OF₁P=∠OPF₁，進(jìn)而可得∠OF₁P=∠APF₁，即可證PF₁平分∠APO；
（3）由（1）可得P的坐標(biāo)，可得|OP|=C，又由|OF₁|=c，可得∠OF₁P=∠OPF₁，進(jìn)而根據(jù)AB∥F₁F₂，得∠OF₁P=∠APF₁，即可得∠OPF₁=∠APF₁，即可證PF₁平分∠APO．

解答：證明：（1）雙曲線C在第一、三象限的漸近線方程為y=

b

a

x，
由

y= b a x y=b

得P（a，b），
∴

PF1

•

PF2

=（-c-a，-b）•（c-a，-b）=a²-c²+b²=0，
得PF₁⊥PF₂；
（2）由（1）知△F₁PF₂為直角三角形，且O為斜邊F₁F₂的中點(diǎn)，
∴OP=OF₁，有∠OF₁P=∠OPF₁，
又∵AB∥F₁F₂，得∠OF₁P=∠APF₁，
∴∠OPF₁=∠APF₁，
∴PF₁平分∠APO，同理得證PF₂平分∠BPO；
（3）能直接證明，證明如下：
同（1）的方法，可求得P（a，b），
∴|OP|=

a2+b2

=c，
又∵|OF₁|=c，∴∠OF₁P=∠OPF₁，
又∵AB∥F₁F₂，得∠OF₁P=∠APF₁，∴∠OPF₁=∠APF₁，
∴PF₁平分∠APO．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的性質(zhì)與應(yīng)用，解題時，注意分析題意，把握好“虛近點(diǎn)”的定義，結(jié)合雙曲線的定義與性質(zhì)，從而解題．