Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°，F(xiàn)為AE中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-EB-D的大小的余弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)F到平面BDE的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BE的中點(diǎn)O，連OC，OF，DF，可利用條件得OC∥FD，再利用條件證得OC⊥平面ABE即可得到平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）因?yàn)槎�面角A-EB-D與二面角F-EB-D相等，即找二面角F-EB-D的平面角為∠FOD即可．
（Ⅲ）由OFDC為正方形可得CF⊥OD，CF⊥EB?CF⊥面EBD，所以點(diǎn)F到平面BDE的距離為

1

2

FC，再由條件求出結(jié)果即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：取BE的中點(diǎn)O，連OC，OF，DF，則2OF與BA平行且相等（2分）
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD與BA平行且相等，
∴OF與CD平行且相等，
∴OC∥FD（4分）
∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE．
∴OC⊥平面ABE．∴FD⊥平面ABE．
從而平面ADE⊥平面ABE．（6分）
（Ⅱ）二面角A-EB-D與二面角F-EB-D相等，
由（Ⅰ）知二面角F-EB-D的平面角為∠FOD．
BC=CE=2，∠BCE=120°，OC⊥BE得BO=OE=

3

，OC=1，
∴OFDC為正方形，
∴∠FOD=45°，
∴二面角A-EB-D的余弦值為

2

2

．（10分）
（Ⅲ）∵OFDC為正方形，
∴CF⊥OD，CF⊥EB，
∴CF⊥面EBD，
∴點(diǎn)F到平面BDE的距離為

1

2

FC，
∴點(diǎn)F到平面BDE的距離為

2

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了面面垂直的判定以及二面角的求法和點(diǎn)到面的距離計(jì)算．在求點(diǎn)到面的距離時(shí)，如果直接法不好求的話，一般轉(zhuǎn)化為棱錐的高利用等體積法來求．