(2012•廣州一模)已知橢圓x2+
y2
4
=1
的左,右兩個頂點(diǎn)分別為A、B.曲線C是以A、B兩點(diǎn)為頂點(diǎn),離心率為
5
的雙曲線.設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在曲線C上,直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)P、T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,證明:x1•x2=1;
(3)設(shè)△TAB與△POB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積分別為S1與S2,且
PA
PB
≤15
,求S12-S22的取值范圍.
分析:(1)依題意設(shè)雙曲線C的方程,利用雙曲線的離心率為
5
,建立等式,從而可求雙曲線C的方程;
(2)證法1:設(shè)直線AP的方程與橢圓方程聯(lián)立,確定P、T的橫坐標(biāo),即可證得結(jié)論;
證法2:利用kAP=kAT,建立等式,根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)T分別在雙曲線和橢圓上,可得方程,代入化簡,可得結(jié)論;
證法3:設(shè)直線AP的方程與橢圓方程聯(lián)立,確定P、T的橫坐標(biāo),即可證得結(jié)論;
(3)利用
PA
PB
≤15
,結(jié)合點(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),可得1<x1≤2,利用三角形的面積公式求面積,從而可得S12-S22的不等式,利用換元法,再利用導(dǎo)數(shù)法,即可求S12-S22的取值范圍.
解答:(1)解:依題意可得A(-1,0),B(1,0).…(1分)
設(shè)雙曲線C的方程為x2-
y2
b2
=1
(b>0),
因?yàn)殡p曲線的離心率為
5
,所以
1+b2
1
=
5
,即b=2.
所以雙曲線C的方程為x2-
y2
4
=1
.…(3分)
(2)證法1:設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)、T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2),直線AP的斜率為k(k>0),
則直線AP的方程為y=k(x+1),…(4分)
聯(lián)立方程組
y=k(x+1)
x2+
y2
4
=1.
…(5分)
整理,得(4+k2)x2+2k2x+k2-4=0,
解得x=-1或x=
4-k2
4+k2
.所以x2=
4-k2
4+k2
.…(6分)
同理可得,x1=
4+k2
4-k2
.…(7分)
所以x1•x2=1.…(8分)
證法2:設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)、T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2),
kAP=
y1
x1+1
,kAT=
y2
x2+1
.…(4分)
因?yàn)閗AP=kAT,所以
y1
x1+1
=
y2
x2+1
,即
y12
(x1+1)2
=
y22
(x2+1)2
.…(5分)
因?yàn)辄c(diǎn)P和點(diǎn)T分別在雙曲線和橢圓上,所以x12-
y12
4
=1
,x22+
y22
4
=1

y12=4(x12-1)y22=4(1-x22).…(6分)
所以
4(x12-1)
(x1+1)2
=
4(1-x22)
(x2+1)2
,即
x1-1
x1+1
=
1-x2
x2+1
.…(7分)
所以x1•x2=1.…(8分)
證法3:設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),直線AP的方程為y=
y1
x1+1
(x+1)
,…(4分)
聯(lián)立方程組
y=
y1
x1+1
(x+1)
x2+
y2
4
=1.
…(5分)
整理,得[4(x1+1)2+y12]x2+2y12x+y12-4(x1+1)2=0
解得x=-1或x=
4(x1+1)2-y12
4(x1+1)2+y12
.…(6分)
y12=4x12-4代入x=
4(x1+1)2-y12
4(x1+1)2+y12
,得x=
1
x1
,即x2=
1
x1

所以x1•x2=1.…(8分)
(3)解:設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)、T(x2,y2)(xi>0,yi>0,i=1,2),
PA
=(-1-x1,-y1)
,
PB
=(1-x1,-y1)

因?yàn)?span id="cce2mgq" class="MathJye">
PA
PB
≤15,所以(-1-x1)(1-x1)+y12≤15,即x12+y12≤16.…(9分)
因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上,則x12-
y12
4
=1
,所以x12+4x12-4≤16,即x12≤4
因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),所以1<x1≤2.…(10分)
因?yàn)?span id="20iwooq" class="MathJye">S1=
1
2
|AB||y2|=|y2|,S2=
1
2
|OB||y1|=
1
2
|y1|
,
所以S12-S22=y22-
1
4
y12=(4-4x22)-(x12-1)=5-x12-4x22
.…(11分)
由(2)知,x1•x2=1,即x2=
1
x1

設(shè)t=x12,則1<t≤4,S12-S22=5-t-
4
t

設(shè)f(t)=5-t-
4
t
,則f′(t)=-1+
4
t2
=
(2-t)(2+t)
t2
,
當(dāng)1<t<2時,f'(t)>0,當(dāng)2<t≤4時,f'(t)<0,
所以函數(shù)f(t)在(1,2)上單調(diào)遞增,在(2,4]上單調(diào)遞減.
因?yàn)閒(2)=1,f(1)=f(4)=0,
所以當(dāng)t=4,即x1=2時,(S12-S22)min=f(4)=0.…(12分)
當(dāng)t=2,即x1=
2
時,(S12-S22)max=f(2)=1.…(13分)
所以S12-S22的取值范圍為[0,1].…(14分)
點(diǎn)評:本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、函數(shù)最值等知識,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•廣州一模)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個小組(每小組4人)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績.乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊,無法確認(rèn),在圖中以a表示.已知甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)成績的平均分相同.
(1)求a的值;
(2)求乙組四名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差;
(3)分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué),記這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績之差的絕對值為X,求隨機(jī)變量X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•廣州一模)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若對任意a∈[3,4],函數(shù)f(x)在R上都有三個零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•廣州一模)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(e為自然對數(shù)的底數(shù)),gn(x)=1+x+
x2
2!
+
x3
3!
+…+
xn
n!
(n∈N*).
(1)證明:f(x)≥g1(x);
(2)當(dāng)x>0時,比較f(x)與gn(x)的大小,并說明理由;
(3)證明:1+(
2
2
)1+(
2
3
)2+(
2
4
)3+…+(
2
n+1
)ngn(1)<e
(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•廣州一模)已知
e1
=(
3
,-1)
,
e2
=(
1
2
,
3
2
)
,若
a
=
e1
+(t2-3)•
e2
,
b
=-k•
e1
+t•
e2
,若
a
b
,則實(shí)數(shù)k和t滿足的一個關(guān)系式是
t3-3t-4k=0
t3-3t-4k=0
,
k+t2
t
的最小值為
-
7
4
-
7
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•廣州一模)已知平面向量
a
=(1,3)
,
b
=(-3,x)
,且
a
b
,則
a
b
=( 。

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同步練習(xí)冊答案