Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：（a為常數(shù)，且）． 

（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；  （Ⅱ）設(shè)，若數(shù)列為等比數(shù)列，求a的值；

（Ⅲ）在滿足條件（Ⅱ）的情形下，設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n .

求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）． （III）證明：見解析。

【解析】 (1)由，可求出，找到與的關(guān)系，就可得到的通項(xiàng)

公式；（2）由（1）可得到數(shù)列為等比數(shù)列，利用可求出；

（3）把代入（1）得，所以，分離常數(shù)整理得

.先放縮，右邊裂項(xiàng)求和得

結(jié)論得證.

（Ⅰ）∴

當(dāng)時(shí)，

，即是等比數(shù)列． ∴；         ……………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若為等比數(shù)列，

 則有而

故，解得，  ………………7分

再將代入得成立，

所以．……………………………8分

（III）證明：由（Ⅱ）知，所以

，  …………………… 9分

由得

所以，       …………………… 12分

從而

．

即．