【題目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°且AD=CD,BB1⊥平面ABCD,BB1=2AB=2.

（1）證明:AC⊥B1D.

（2）求BC1與平面B1C1D所成角的正弦值.

【答案】（1）答案見解析.（2）

【解析】

（1）設(shè)相交于，通過證明，證得，由此證得，根據(jù)平面，證得，由此證得平面，進(jìn)而證得.

（2）以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過直線的方向向量和平面的法向量，求得線面角的正弦值.

（1）證明:設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O,

∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,

又∠BAD=∠BCD,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=AC,

∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB,

∴△AOD≌△COD,∴∠AOD=∠COD=90°,

∴AC⊥BD,

又BB1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

∴AC⊥BB1,又BD∩BB1=B,

∴AC⊥平面BDB1,又B1D平面BDB1,

∴AC⊥B1D.

（2）由（1）知，所以，所以，所以.以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,，所以，，所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，令得，設(shè)直線與平面所成角為，則

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練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化，每一卦由六爻組成.其中有一種起卦方法稱為“金錢起卦法”，其做法為：取三枚相同的錢幣合于雙手中，上下?lián)u動(dòng)數(shù)下使錢幣翻滾摩擦，再隨意拋撒錢幣到桌面或平盤等硬物上，如此重復(fù)六次，得到六爻.若三枚錢幣全部正面向上或全部反面向上，就稱為變爻.若每一枚錢幣正面向上的概率為，則一卦中恰有兩個(gè)變爻的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】足球是當(dāng)今世界傳播范圍最廣、參與人數(shù)最多的體育運(yùn)動(dòng)，具有廣泛的社會(huì)影響，深受世界各國(guó)民眾喜愛．

（1）為調(diào)查大學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)選取50名大學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，當(dāng)問卷評(píng)分不低于80分則認(rèn)為喜歡足球，當(dāng)評(píng)分低于80分則認(rèn)為不喜歡足球，這50名大學(xué)生問卷評(píng)分的結(jié)果用莖葉圖表示如圖：

請(qǐng)依據(jù)上述數(shù)據(jù)填寫如下列聯(lián)表：

喜歡足球

不喜歡足球

總計(jì)

女生

男生

總計(jì)

請(qǐng)問是否有 的把握認(rèn)為喜歡足球與性別有關(guān)？

參考公式及數(shù)據(jù)：，．

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

（2）已知某國(guó)“糖果盒”足球場(chǎng)每年平均上座率與該國(guó)成年男子國(guó)家足球隊(duì)在國(guó)際足聯(lián)的年度排名線性相關(guān)，數(shù)據(jù)如表，，，

年度排名

9

6

3

平均上座率

0.9

0.91

0.92

0.93

0.95

求變量與的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)排名為1時(shí)該球場(chǎng)的上座率．

參考公式及數(shù)據(jù)：，；．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問5分，（Ⅱ）小問8分.）

甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.求：（Ⅰ）打滿3局比賽還未停止的概率；（Ⅱ）比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望E．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.

（1）求出函數(shù)在R上的解析式；

（2）畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出的單調(diào)區(qū)間．

（3）求使時(shí)的的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】大學(xué)先修課程是在高中開設(shè)的具有大學(xué)水平的課程，旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大學(xué)思維方式、學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練，為大學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來的職業(yè)生涯做好準(zhǔn)備．某高中成功開設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年，共有人參與學(xué)習(xí)先修課程，這兩年學(xué)習(xí)先修課程的學(xué)生都參加了高校的自主招生考試（滿分分），結(jié)果如下表所示：

分?jǐn)?shù)

人數(shù)

參加自主招生獲得通過的概率

（1）這兩年學(xué)校共培養(yǎng)出優(yōu)等生人，根據(jù)圖中等高條形圖，填寫相應(yīng)列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表檢驗(yàn)?zāi)芊裨诜稿e(cuò)的概率不超過的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系？

優(yōu)等生

非優(yōu)等生

總計(jì)

學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程

沒有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程

總計(jì)

（2）已知今年全校有名學(xué)生報(bào)名學(xué)習(xí)大學(xué)選項(xiàng)課程，并都參加了高校的自主招生考試，以前兩年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績(jī)的頻率作為今年參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)成績(jī)的概率．

（i）在今年參與大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)的學(xué)生中任取一人，求他獲得高校自主招生通過的概率；

（ii）某班有名學(xué)生參加了大學(xué)先修課程的學(xué)習(xí)，設(shè)獲得高校自主招生通過的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考數(shù)據(jù)：

參考公式：，其中．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）若與相交于兩點(diǎn)，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在統(tǒng)計(jì)調(diào)查中，問卷的設(shè)計(jì)是一門很大的學(xué)問，特別是對(duì)一些敏感性問題.例如學(xué)生在考試中有無作弊現(xiàn)象，社會(huì)上的偷稅漏稅等.更要精心設(shè)計(jì)問卷.設(shè)法消除被調(diào)查者的顧慮，使他們能夠如實(shí)回答問題，否則被調(diào)查者往往會(huì)拒絕冋答，或不提供真實(shí)情況，為了調(diào)查中學(xué)生中的早戀現(xiàn)象，隨機(jī)抽出300名學(xué)生，調(diào)查中使用了兩個(gè)問題.①你的學(xué)籍號(hào)的最后一位數(shù)是奇數(shù)（學(xué)籍號(hào)的后四位是序號(hào)）；②你是否有早戀現(xiàn)象，讓被調(diào)查者從裝有4個(gè)紅球，6個(gè)黑球（除顏色外完全相同）的袋子中隨機(jī)摸取兩個(gè)球.摸到兩球同色的學(xué)生如實(shí)回答第一個(gè)問題，摸到兩球異色的學(xué)生如實(shí)回答第二個(gè)問題，回答“是”的人往一個(gè)盒子中放一個(gè)小石子，回答“否”的人什么都不放，后來在盒子中收到了78個(gè)小石子.

（1）你能否估算出中學(xué)生早戀人數(shù)的百分比？

（2）若從該地區(qū)中學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)班（40人），設(shè)其中恰有個(gè)人存在早戀的現(xiàn)象，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某農(nóng)業(yè)觀光區(qū)的平面示意圖如圖所示，其中矩形的長(zhǎng)千米，寬千米，半圓的圓心為中點(diǎn)，為了便于游客觀光休閑，在觀光區(qū)鋪設(shè)一條由圓弧、線段、組成的觀光道路，其中線段經(jīng)過圓心，點(diǎn)在線段上（不含線段端點(diǎn)、），已知道路、的造價(jià)為每千米萬(wàn)元，道路造價(jià)為每千米 萬(wàn)元，設(shè)，觀光道路的總造價(jià)為.

（1）試求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，觀光道路的總造價(jià)最小.

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