Question

己知向量=（1，2），=（-2，m），=+（t²+1），=-k+，m∈R，kt為正實(shí)數(shù)．
（1）若∥，求m的值；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，若⊥，求k的最小值．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，=（1，2），=（-2，m），
若∥，則有1×m=2×（-2），
解可得，m=-4；
（2）若m=1，有=（1，2），=（-2，1），易得•=0，
則=+（t²+1）=（-1-2t²，3+t²），y=-k+=（-k-，-2k+），
若⊥，則•=[+（t²+1）]•（-k+）=-k²+（t+）²=5[（t+）-k]=0，
即k=t+，
又由t＞0，則k≥2=2，（當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號成立）；
故k的最小值為2．
分析：（1）根據(jù)題意，結(jié)合、的坐標(biāo)，由向量平行的坐標(biāo)判斷方法，可得1×m=2×（-2），解可得答案；
（2）根據(jù)題意，可得、的坐標(biāo)，分析可得•=0，由向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，可得•=[+（t²+1）]•（-k+=0，對其變形整理可得k=t+，由基本不等式的關(guān)系，計(jì)算可得答案．
點(diǎn)評：本題考查向量平行、垂直的坐標(biāo)判斷以及基本不等式的應(yīng)用，對于（2），要注意、的坐標(biāo)，分析得到⊥，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，化簡•．