Question

19．當(dāng)a＞0，a≠1時(shí)，函數(shù)f（x）=log_a（x-1）+1的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx-y+n=0上，則4^m+2ⁿ的最小值是（　　）

• A． 4
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=log_a（x-1）+1的圖象恒過定點(diǎn)A（2，1），進(jìn)而可得2m+n=1，結(jié)合基本不等式和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得4^m+2ⁿ≥2$\sqrt{2}$，進(jìn)而得到答案．

解答 解：當(dāng)x=2時(shí)，log_a（x-1）+1=1在a＞0，a≠1時(shí)恒成立，
故函數(shù)f（x）=log_a（x-1）+1的圖象恒過定點(diǎn)A（2，1），
由點(diǎn)A在直線mx-y+n=0上，則2m-1+n=0，即2m+n=1，
∴4^m+2ⁿ=2^2m+2ⁿ≥2$\sqrt{{2}^{2m}•{2}^{n}}$=2$\sqrt{{2}^{2m+n}}$=2$\sqrt{2}$，
即4^m+2ⁿ的最小值是2$\sqrt{2}$，
故選：B

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，直線上的點(diǎn)與直線方程，難度中檔．