Question

15．已知函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x+a}{x-1}$（a＞0）為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若x∈（1，4]，f（x）＞log₂$\frac{m}{x-1}$恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義f（x）+f（-x）=0得到a 的等式求a．
（2）利用（1）的解析式得到真數(shù)的關(guān)系，利用恒成立問題即求最值，得到m的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x+a}{x-1}$（a＞0）為奇函數(shù)．
∴f（x）+f（-x）=0即$lo{g}_{2}\frac{x+a}{x-1}+lo{g}_{2}\frac{-x+a}{-x-1}$=0，所以$lo{g}_{2}\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}-1}=0$，得到$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}-1}$=1，所以a=1；
（2）x∈（1，4]，f（x）＞log₂$\frac{m}{x-1}$恒成立，即$\frac{x+1}{x-1}＞\frac{m}{x-1}$，x∈（1，4]，所以0＜m＜x+1恒成立，
所以0＜m≤2．即實數(shù)m的取值范圍是（0，2]．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的運用以及對數(shù)不等式恒成立問題；關(guān)鍵是找到對數(shù)中真數(shù)的關(guān)系．