Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S₃+S₄=S₅，a₇=5a₂+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（

1

2

）^n-1，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)和公差，由此求出a_n=2n-1（n∈N^*）．
（2）由a_nb_n=（2n-1）（

1

2

）^n-1．利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
由S₃+S₄=S₅，a₇=5a₂+2得：2a₁-d=0，4a₁-d-2=0，
解得：a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）…（4分）
（2）令c_n=a_nb_n=（2n-1）（

1

2

）^n-1．則T_n=c₁+c₂+…+c_n，
∴Tn=1•1+3•

1

2

+5•(

1

2

)2+…+(2n-1)•(

1

2

)n-1，①

1

2

Tn=1•

1

2

+3•(

1

2

)2+5•(

1

2

)3+…+(2n-1)•(

1

2

)n，②（6分）
①-②，得

1

2

Tn=1+2[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-（2n-1）•（

1

2

）ⁿ
=1+2[1-（

1

2

）^n-1]-（2n-1）•(

1

2

)n
=3-

2n+3

2n

，（10分）
∴T_n=6-

2n+3

2n-1

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．