Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$（x∈R，a、b為實(shí)數(shù)），且曲線y=f（x）在點(diǎn)$P（\frac{1}{3}，f（\frac{1}{3}））$處的切線l的方程是9x+10y-33=0．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）現(xiàn)將切線方程改寫(xiě)為y=$\frac{3}{10}$（11-3x），并記g（x）=$\frac{3}{10}$（11-3x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，試比較f（x）與g（x）的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，解a，b的方程，可得a，b的值；
（2）作差可得f（x）-g（x），記h（x）=9x³-33x²+19x-3，x∈[0，2]．求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得h（x）的最大值，即可判斷大小．

解答 解：（1）由${f^/}（x）=\frac{{a（{x^2}+1）-2x（ax+b）}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=\frac{{a-a{x^2}-2bx}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$
及切線l的方程是9x+10y-33=0．
可得f′（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{9}{10}$，
化得4a-3b+5=0，
又易知f（$\frac{1}{3}$）=3，化得a+3b-10=0，
解得a=1，b=3.$f（x）=\frac{x+3}{{{x^2}+1}}$．
（2）由$f（x）=\frac{x+3}{{{x^2}+1}}$，
可得f（x）-g（x）=$\frac{{10（x+3）-3（11-3x）（{x^2}+1）}}{{10（{x^2}+1）}}$=$\frac{{9{x^3}-33{x^2}+19x-3}}{{10（{x^2}+1）}}$，
記h（x）=9x³-33x²+19x-3，x∈[0，2]．
h′（x）=27x²-66x+19=（3x-1）（9x-19），
當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{3}）$時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，
$x∈（\frac{1}{3}，2）$時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，
故當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，$h（x）≤h（\frac{1}{3}）=0$，
所以當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）≤g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查作差法比較兩數(shù)的大小，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．