Question

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2

2

，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大�。划�(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標(biāo)原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而可求面PBD的一個法向量，利用點A到平面PBD的距離公式求解；
（2）根據(jù)cosθ=

| PC • AD |

| PC |•| AD |

，故先求相應(yīng)的向量，從而可求異面直線PC與AD所成角．要使平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，故由cos60°=

AD • PQ

| AD |•| PQ |

=

|y|

x2+y2+4

=

1

2

從而可得軌跡方程．

解答：解：（1）以A為坐標(biāo)原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系

PD

=(0，1，-2)，

PB

=(2

2

，0，-2)，設(shè)面PBD的法向量為

n

=(x，y，z)，則

PD

•

n

=0，

PB

•

n

=0，得面PBD的一個法向量為

n

=(1，2

2

，

2

)，
所以點A到平面PBD的距離d=

AP • n

n

=

2

11

22

…（7分）
（2）P（0，0，2）、C（2

2

，2，0），則有

PC

=（2

2

，2，-2），又

AD

=（0，1，0）
則異面直線PC與AD所成角θ滿足cosθ=

| PC • AD |

| PC |•| AD |

=

1

2

，
所以，異面直線PC與AD所成角的大小為60°
設(shè)Q（x，y，0），則

AD

=(0，1，0)，

PQ

=(x，y，-2)
∴cos60°=

AD • PQ

| AD |•| PQ |

=

|y|

x2+y2+4

=

1

2

化解得3y²-x²=4…（14分）

點評：本題以四棱錐為載體，考查點面距離，考查線線角，考查軌跡問題，關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系．