Question

11．已知兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y的測量數(shù)據(jù)如下：

x	1	2	3	6
y	2	3	5	6

通過最小二乘法求其線性回歸方程，并預(yù)報當(dāng)變量x為14時，變量y的值．
（ 注：線性回歸方程y=bx+a，其中$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出平均數(shù)$\overline{x}$、$\overline{y}$，計算$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i和$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$，求出相關(guān)系數(shù)b和a，即可得出線性回歸方程．

解答 解：根據(jù)題意，得：
數(shù)據(jù)x的平均數(shù)是$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（1+2+3+6）=3，（2分）
y的平均數(shù)是$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$（2+3+5+6）=4；
∴$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=1×2+2×3+3×5+6×6=59}$，
$\sum_{i=1}^4{x_i^2=1+4+9+36=50}$，
∴相關(guān)系數(shù)$b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}-4\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{\overline x}^2}}}}=\frac{59-4×3×4}{50-4×9}=\frac{11}{14}$，（6分）
$a=\overline y-b\overline x=4-\frac{11}{14}×3=\frac{23}{14}$；
∴線性回歸方程為：y=$\frac{11}{14}$x+$\frac{23}{14}$，（8分）
當(dāng)變量x=14時，變量y=$\frac{11}{14}$×14+$\frac{23}{14}$=$\frac{177}{14}$．（10分）

點評 本題考查了根據(jù)公式計算線性回歸方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．