Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，平面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）證明：平面PBC⊥平面PDC；
（Ⅱ）若∠PAB=120°，求三棱錐P-BCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PC、BC的中點(diǎn)E、F，連結(jié)DF，DE，EF，證明DE⊥平面PBC，根據(jù)面面垂直判定定理，即可證出平面PBC⊥平面PDC；
（2）延長(zhǎng)BA，過(guò)P作PG⊥BA，垂足為G，得到PG⊥平面ABCD，算出PG，即可算出三棱錐P-BCD的體積．

解答： 解：（1）證明：取PC、BC的中點(diǎn)E、F，連結(jié)DF，DE，EF，
由已知得：PD=CD，∴DE⊥PC．
∵平面PAB⊥底面ABCD，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
又PC、BC的中點(diǎn)E、F，
∴EF∥PB，DF∥AB，
∴BC⊥平面DEF，
∴BC⊥DE，
∵BC∩PC=C，
∴DE⊥平面PBC，
又DE?平面PDC，
∴平面PBC⊥平面PDC．
（2）延長(zhǎng)BA，過(guò)P作PG⊥BA，垂足為G，
則PG⊥平面ABCD，
由已知條件可得PG=

3

2

，
∴三棱錐P-BCD的體積VP-BCD=

1

3

×

3

2

×

1

2

×1×2=

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊四棱錐，求證面面垂直并求錐體的體積．著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積求法等知識(shí)，屬于中檔題．