對(duì)于函數(shù)y=f(x),有下列五個(gè)命題:
①若y=f(x)存在反函數(shù),且與反函數(shù)圖象有公共點(diǎn),則公共點(diǎn)一定在直線y=x上;
②若y=f(x)在R上有定義,則y=f(|x|)一定是偶函數(shù);
③若y=f(x)是偶函數(shù),且f(x)=0有解,則解的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù);
④若T(T≠0)是函數(shù)y=f(x)的周期,則nT(n∈N),也是函數(shù)y=f(x)的周期;
⑤f(0)=0是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)的充分也不必要條件.
從中任意抽取一個(gè),恰好是真命題的概率為( 。
分析:對(duì)于①可舉反例f(x)=
1
x
進(jìn)行判定,對(duì)于②可根據(jù)偶函數(shù)的定義進(jìn)行判定,對(duì)于③可舉反例y=x2進(jìn)行判定,對(duì)于④可根據(jù)周期性的定義進(jìn)行判定,對(duì)于⑤可舉反例f(x)=x2進(jìn)行判定,從而可求出真命題的個(gè)數(shù),即可求出所求.
解答:解:①若y=f(x)存在反函數(shù),且與反函數(shù)圖象有公共點(diǎn),則公共點(diǎn)不一定在直線y=x上,如函數(shù)f(x)=
1
x
,反函數(shù)是其本身,公共點(diǎn)是整個(gè)函數(shù)圖象;
②若y=f(x)在R上有定義,則y=f(|x|)一定是偶函數(shù),因f(|-x|)=f(|x|)對(duì)于任意x恒成立,故正確;
③若y=f(x)是偶函數(shù),且f(x)=0有解,則解的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)不正確,如y=x2,是偶函數(shù),x2=0的解只有一個(gè),不是偶數(shù)個(gè);
④若T(T≠0)是函數(shù)y=f(x)的周期,則f(x+T)=f(x),從而f(x+nT)=f(x),則nT(n∈N),也是函數(shù)y=f(x)的周期;
⑤f(0)=0是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)的充分也不必要條件,不正確,f(x)=x2時(shí),f(0)=0,而f(x)=x2是偶函數(shù).
故正確的命題有2個(gè),
則從中任意抽取一個(gè),恰好是真命題的概率為
2
5

故選B.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了命題的真假的判定,以及古典概型的簡(jiǎn)單應(yīng)用,同時(shí)考查了反函數(shù)、奇偶性、周期性等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f(x+
π
2
)
為偶函數(shù),對(duì)于函數(shù)y=f(x)有下列幾種描述:
①y=f(x)是周期函數(shù)②x=π是它的一條對(duì)稱軸;③(-π,0)是它圖象的一個(gè)對(duì)稱中心;
④當(dāng)x=
π
2
時(shí),它一定取最大值;其中描述正確的是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列五個(gè)命題:
①函數(shù)y=f(x),x∈R的圖象與直線x=a可能有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
②函數(shù)y=log2x2與函數(shù)y=2log2x是相等函數(shù);
③對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=2x與冪函數(shù)y=x2,總存在x0,當(dāng)x>x0 時(shí),有2x>x2成立;
④對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈[a,b],若有f(a)•f(b)<0,則f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).
⑤已知x1是方程x+lgx=5的根,x2是方程x+10x=5的根,則x1+x2=5.
其中正確的序號(hào)是
③⑤
③⑤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•和平區(qū)一模)函數(shù)y=f(x)是定義在[a,b]上的增函數(shù),其中a,b∈R,且0<b<-a,已知y=f(x)無(wú)零點(diǎn),設(shè)F(x)=f2(x)+f2(-x),則對(duì)于函數(shù)y=F(x)有如下四種說(shuō)法:①定義域是[-b,b];②最小值是0;③是偶函數(shù);④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.其中正確的說(shuō)法是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2010•上海模擬)對(duì)于函數(shù)y=f(x)的圖象上任意兩點(diǎn)A(a,f(a)),B(b,f(b)),設(shè)點(diǎn)C分
AB
的比為λ(λ>0).若函數(shù)為f(x)=x2(x>0),則直線AB必在曲線AB的上方,且由圖象特征可得不等式
a2b2
1+λ
(
a+λb
1+λ
)
2
.若函數(shù)為f(x)=log2010x,請(qǐng)分析該函數(shù)的圖象特征,上述不等式可以得到不等式
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ
log2010a+log2010b
1+λ
log2010
a+λb
1+λ

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在區(qū)間[-3,3]上的函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)+f(x)=0,對(duì)于函數(shù)y=f(x)的圖象上任意兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))都有(x1-x2)•[f(x1)-f(x2)]<0.若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a2-2a)+f(2b-b2)≤0,則點(diǎn)(a,b)所在區(qū)域的面積為( 。
A、8B、4C、2D、1

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