Question

（2012•陜西）設{a_n}是公比不為1的等比數列，其前n項和為S_n，且a₅，a₃，a₄成等差數列．
（1）求數列{a_n}的公比；
（2）證明：對任意k∈N₊，S_k+2，S_k，S_k+1成等差數列．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公比為q（q≠0，q≠1），利用a₅，a₃，a₄成等差數列結合通項公式，可得2a1q2=a1q4+a1q3，由此即可求得數列{a_n}的公比；
（2）對任意k∈N₊，S_k+2+S_k+1-2S_k=（S_k+2-S_k）+（S_k+1-S_k）=a_k+2+a_k+1+a_k+1=2a_k+1+a_k+1×（-2）=0，從而得證．

解答：（1）解：設{a_n}的公比為q（q≠0，q≠1）
∵a₅，a₃，a₄成等差數列，∴2a₃=a₅+a₄，
∴2a1q2=a1q4+a1q3
∵a₁≠0，q≠0，
∴q²+q-2=0，解得q=1或q=-2
∵q≠1，
∴q=-2
（2）證明：對任意k∈N₊，S_k+2+S_k+1-2S_k=（S_k+2-S_k）+（S_k+1-S_k）=a_k+2+a_k+1+a_k+1=2a_k+1+a_k+1×（-2）=0
∴對任意k∈N₊，S_k+2，S_k，S_k+1成等差數列．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，熟練運用等差數列的性質，等比數列的通項是解題的關鍵．