Question

給出下列命題：
（1）存在實(shí)數(shù)α，使sinαcosα=1
（2）存在實(shí)數(shù)α，使sinα+cosα=

3

2

（3）函數(shù)y=sin（

3π

2

+x）是偶函數(shù) 
（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ．其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：（1）由sinαcosα=1化為sin2α=2，由于sin2α≤1，可知：不存在實(shí)數(shù)α，使得sin2α=2；
（2）由于sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)≤

2

＜

3

2

，即可判斷出；
（3）函數(shù)y=sin（

3π

2

+x）=-cosx是偶函數(shù)；
（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，取α=4π+

π

6

，β=2π+

π

3

，即可判斷出．

解答： 解：（1）由sinαcosα=1化為sin2α=2，∵sin2α≤1，∴不存在實(shí)數(shù)α，使得sin2α=2，因此不正確；
（2）∵sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)≤

2

＜

3

2

，因此不存在實(shí)數(shù)α，使sinα+cosα=

3

2

，故不正確；
（3）函數(shù)y=sin（

3π

2

+x）=-cosx是偶函數(shù)，正確；
（4）若α、β是第一象限的角，且α＞β，取α=4π+

π

6

，β=2π+

π

3

，則sinα＞sinβ不成立，因此不正確．
其中正確命題的序號是（3）．
故答案為：（3）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、倍角公式、兩角和差的正弦公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．