Question

已知函f（x）=e^x•（cosx-sinx），將滿足f′（x）=0的所有正數x從小到大排成數列{x_n}，記a_n=f（x_n）（n∈N^*），b_n=ln|a_n|．
（1）證明數列{a_n}為等比數列； 
（2）求數列{b_n}的前n項的和；
（3）若c_n=2^n-1•b_n，求數列{c_n}的前n項的和．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件，推導出由f′（x）=-2sinx=0，得x_n=nπ，n=1，2，3，…從而推導出a_n=（-1）ⁿ•e^nπ，n=1，2，3，由此能夠證明{a_n}是等比數列．
（2）由（1）知a_n=（-e）^nπ，由此推導出{b_n}是以π為首項，π為公差等差數列，從而能求出數列{b_n}的前n項的和．
（3）由b_n=nπ，得到c_n=2^n-1•b_n=n•2^n-1•π，由此利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項的和．

解答： （1）證明：∵f（x）=e^x•（cosx-sinx），
∴f′（x）=e^x（cosx-sinx）+e^x（-sinx-cosx）=-2e^xsinx，…（1分）
令f′（x）=0，得f′（x）=-2sinx=0，
解得x=kπ，k∈Z，
∴x_n=nπ，n=1，2，3，…
∴an=f(xn)=enπ•（cosnπ-sinnπ）=（-1）ⁿ•e^nπ，n=1，2，3，…（4分）
∴

an+1

an

=

(-1)n+1e(n+1)π

(-1)n•enπ

=-e^π，且a1=-eπ，
∴{a_n}是以-e^π為首項，以-e^π為公比的等比數列．…（5分）
（2）解：由（1）知a_n=-e^π（-e^π）^n-1=（-e）^nπ，
∴b_n=ln|a_n|=nπ，
∴{b_n}是以π為首項，π為公差等差數列，…（8分）
∴數列{b_n}的前n項的和：
b₁+b₂+…+b_n
=π+2π+…+nπ
=nπ+

n(n-1)

2

π
=

n(n+1)

2

π．…（10分）
（3）解：∵b_n=nπ，
∴c_n=2^n-1•b_n=n•2^n-1•π，
記數列{2^n-1•b_n}的前n項的和為S_n，
則Sn=π+2•2π+3•22π+…+（n-1）•2^n-2π+n•2^n-1π，…（11分）
2S_n=2π+2•2²π+3•2³π+…+（n-1）•2^n-1π+n•2ⁿπ，
兩式相減得-S_n=π+2π+2²π+…+2^n-1π-n•2ⁿπ
=

π(1-2n)

1-2

-n•2nπ，…（13分）
∴數列{c_n}的前n項的和Sn=(n•2n-2n+1)π．…（14分）

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的前n項和的求法，涉及到函數、導數、數列等知識點，綜合性強，難度大，解題時要注意錯位相減法的合理運用．