Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，F(xiàn)為橢圓的右焦點，點A，B分別為橢圓的上下頂點，過點B作AF的垂線，垂足為M．
（1）若$a=\sqrt{2}$，△ABM的面積為1，求橢圓方程；
（2）是否存在橢圓，使得點B關(guān)于直線AF對稱的點D仍在橢圓上．若存在，求橢圓的離心率的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）直線$AF：y=-\frac{c}x+b$，直線BM：y=$\frac{c}$x-b．聯(lián)立可得M．利用S_△ABM=$\frac{1}{2}2b•$x_M，$a=\sqrt{2}$，a²=b²+c²．
（2）得出M，D．代入橢圓方程化簡，考察其方程是否有解即可得出．

解答 解：（1）直線$AF：y=-\frac{c}x+b$，直線BM：y=$\frac{c}$x-b．
聯(lián)立可得M$（\frac{2^{2}c}{{a}^{2}}，\frac{b（2{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}）$．
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}2b•$x_M=$\frac{1}{2}×2b×\frac{2^{2}c}{{a}^{2}}$=1．
又∵$a=\sqrt{2}$，∴b=c=1．
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）∵M$（\frac{2^{2}c}{{a}^{2}}，\frac{b（2{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}）$，
∴D$（\frac{4^{2}c}{{a}^{2}}，\frac{b（4{c}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}）$．
代入橢圓方程得$\frac{16^{4}{c}^{2}}{{a}^{6}}$+$\frac{（4{c}^{2}-{a}^{2}）^{2}}{{a}^{4}}$=1，
化簡得2e⁴-2e²+1=0，
此方程無解，
∴不存在這樣的橢圓，使得點B關(guān)于直線AF對稱的點D仍在橢圓上．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、對稱性問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．