Question

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義f″（x）是y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”，可以證明，任何三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心，請(qǐng)你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題：
①任意三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都關(guān)于點(diǎn)（-

b

3a

，f（-

b

3a

））對(duì)稱：
②存在三次函數(shù)有兩個(gè)及兩個(gè)以上的對(duì)稱中心；
③存在三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），若f′（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱中心；
④若函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

，則：g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+g（

3

2014

）+…+g（

2013

2014

）=-1006.5
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、①③④
• D、②③④

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：①根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，
由此求得三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對(duì)稱中心；
②③利用三次函數(shù)對(duì)稱中心的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷；
④函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

的對(duì)稱中心是（

1

2

，-

1

2

），得g（x）+（g（1-x）=-1，由此求得g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+g（

3

2014

）+…+g（

2013

2014

）=-1006.5

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″（x）=6a×(-

b

3a

)+2b=0
∴任意三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都關(guān)于點(diǎn)（-

b

3a

，f（-

b

3a

））對(duì)稱：即①正確；
∵任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心，
∴存在三次函數(shù)f′（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，點(diǎn)（x₀，f（x₀））為y=f（x）的對(duì)稱中心，即③正確；
任何三次函數(shù)都有且只有一個(gè)對(duì)稱中心，故②不正確；
∵函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

，
∴g′（x）=x²-x，g''（x）=2x-1，
令g''（x）=2x-1=0，得x=

1

2

，
∵g（

1

2

）=

1

3

×（

1

2

）³-

1

2

×（

1

2

）²-

5

12

=-

1

2

，
∴函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

的對(duì)稱中心是（

1

2

，-

1

2

）
∴g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+g（

3

2014

）+…+g（

2013

2014

）=-1006.5，故④正確．
故正確結(jié)論為：①③④．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于難題．