Question

18．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=$\frac{1}{3}$，公比q=$\frac{1}{3}$，S_n為{a_n}的前n項和．
（1）求a_n和S_n
（2）設b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求數(shù)列b_n的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等比數(shù)列的性質求出首項和公比，由此能求出a_n和S_n．
（2）利用等比數(shù)列的通項公式和對數(shù)的運算法則，結合等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}中，a₂=$\frac{1}{3}$，公比q=$\frac{1}{3}$，S_n為{a_n}的前n項和．
∴${a}_{1}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}$=1，
∴a_n=${a}_{1}{q}^{n-1}$=${（{\frac{1}{3}}）^{n-1}}$，
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}-\frac{3}{2}{（\frac{1}{3}）^n}$．
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=$lo{g}_{3}[1×（\frac{1}{3}）×（\frac{1}{3}）^{2}×…×（\frac{1}{3}）^{n-1}]$
=$lo{g}_{3}[（\frac{1}{3}）^{1+2+…+n-1}]$
=$lo{g}_{3}{3}^{-\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}}$
=$-\frac{n（n-1）}{2}$．
∴b_n=-$\frac{n（n-1）}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式、前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質、對數(shù)函數(shù)的運算法則的合理運用．