Question

19．己知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=21og₂（1-x）．
（1）求函數(shù)f（x）及g（x）的解析式；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)g（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
（3）若關(guān)于x的方程f（2^x）=m有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x），g（x）的奇偶性便有-f（x）+g（x）=2log₂（1+x），聯(lián)立f（x）+g（x）=2log₂（1-x）便可解出f（x）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$，g（x）=$lo{g}_{2}（1-{x}^{2}）$；
（2）根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，然后作差，可以得出$1-{{x}_{1}}^{2}＞1-{{x}_{2}}^{2}$，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可得出g（x₁）＞g（x₂），從而得出g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
（3）求出$f（{2}^{x}）=lo{g}_{2}（-1+\frac{2}{1+{2}^{x}}）$，根據(jù)1-2^x＞0便可得出1+2^x的范圍，從而得出-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$的范圍，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可得出f（2^x）的范圍，從而便可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意：f（-x）+g（-x）=2log₂（1+x）；
∴-f（x）+g（x）=2log₂（1+x），聯(lián)立f（x）+g（x）=2log₂（1-x）得：
f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$，g（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）=$lo{g}_{2}（1-{x}^{2}）$；
即$f（x）=lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}，g（x）=lo{g}_{2}（1-{x}^{2}）$；
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，則：
$g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）=lo{g}_{2}（1-{{x}_{1}}^{2}）-lo{g}_{2}（1-{{x}_{2}}^{2}）$；
∵0＜x₁＜x₂＜1；
∴${{x}_{1}}^{2}＜{{x}_{2}}^{2}$；
∴$1-{{x}_{1}}^{2}＞1-{{x}_{2}}^{2}$；
∴$lo{g}_{2}（1-{{x}_{1}}^{2}）＞lo{g}_{2}（1-{{x}_{2}}^{2}）$；
∴g（x₁）＞g（x₂）；
∴g（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
（3）$f（{2}^{x}）=lo{g}_{2}\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}=lo{g}_{2}（-1+\frac{2}{1+{2}^{x}}）$；
∵1-2^x＞0；
∴0＜2^x＜1；
∴$\frac{1}{2}＜\frac{1}{1+{2}^{x}}＜1$；
∴$0＜-1+\frac{2}{1+{2}^{x}}＜1$；
∴f（2^x）＜0；
∴m＜0；
∴m的取值范圍為（-∞，0）．

點評 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，對數(shù)的運算，以及減函數(shù)的定義，根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較g（x₁），g（x₂），對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分離常數(shù)法的運用．