Question

集合M_k（k≥0）是滿足下列條件的函數(shù)f（x）全體：如果對于任意的x₁，x₂∈（k，+∞），都有f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）．
（1）函數(shù)f（x）=x²是否為集合M的元素，說明理由；
（2）求證：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x是集合M₁的元素；
（3）對數(shù)函數(shù)f（x）=lgx∈M_k，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x₁）=2²=4，f（x₂）=3²=9，f（x₁+x₂）=5²=25＞f（x₁）+f（x₂）可判斷函數(shù)f（x）是否是集合M的元素
（2）要證明當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x是集合M₁的元素，只要證對于任意的x₁，x₂∈（k，+∞），都有f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂），即證f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）＞0
（3）由對數(shù)函數(shù)f（x）=lgx∈M_k，可得任取x₁，x₂∈（k，+∞），f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）成立，代入整理可得對一切x₁，x₂∈（k，+∞）成立，結(jié)合∈（0，），可求k的范圍
解答：解：（1）取x₁=2，x₂=3∈（0，+∞），…1分
f（x₁）=2²=4，f（x₂）=3²=9，f（x₁+x₂）=5²=25＞f（x₁）+f（x₂），…1分
∴函數(shù)f（x）=x²不是集合M的元素．…1分
（2）證明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=…1分
=，…1分
∵0＜a＜1，x₁＞1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得，∴，
同理，，∴，∴．
∴f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂），∴函數(shù)f（x）=a^x是集合M₁的元素．…2分
（3）∵對數(shù)函數(shù)f（x）=lgx∈M_k，∴任取x₁，x₂∈（k，+∞），f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂）成立，
即lgx₁+lgx₂=lg（x₁•x₂）＞lg（x₁+x₂）成立，
∴x₁•x₂＞x₁+x₂對一切x₁，x₂∈（k，+∞）成立，…1分
∴對一切x₁，x₂∈（k，+∞）成立，
∵x₁，x₂∈（k，+∞），∴∈（0，），
∴≤1，∴k≥2．…2分．
點(diǎn)評：本題以新定義為載體主要考查了閱讀新知識并轉(zhuǎn)化為解題的工具，指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值、對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的綜合應(yīng)用．