Question

關(guān)于函數(shù)有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②f（x）的表達(dá)式可改寫為；
③f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
④f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
⑤f（x）在區(qū)間上是增函數(shù)；其中正確的是________．（請(qǐng)將所有正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

②③⑤
分析：通過(guò)舉反例，當(dāng)x₁=-，x₂=時(shí)，f（x₁）=f（x₂）=0，說(shuō)明①不正確．
由誘導(dǎo)公式可得②是正確的．
由x=- 時(shí)，f（x）=0，故點(diǎn)是f（x）與x軸的交點(diǎn)，故③正確．
由 當(dāng) 時(shí)，=0，不是最值可得④是錯(cuò)誤的．
由 2kπ-≤≤2kπ+ 得，解得x的范圍即是增區(qū)間，可得⑤正確．
解答：∵的周期為π，
當(dāng)x₁=-，x₂=時(shí)，f（x₁）=f（x₂）=0，x₁-x₂ =≠kπ，k∈z，故①是錯(cuò)誤的．
∵由誘導(dǎo)公式可得=4cos（-2x- ）=4cos（-2x）=4cos（2x-），故 ②正確．
∵當(dāng) x=- 時(shí)，f（x）=0，故點(diǎn)是f（x）與x軸的交點(diǎn)，故是對(duì)稱點(diǎn)，故③正確．
∵當(dāng) 時(shí)，=0，不是f（x）的最值，故④是錯(cuò)誤的．
由 2kπ-≤≤2kπ+ 得，kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故⑤正確．
綜上，②③⑤正確，①④不正確，
答案為 ②③⑤．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、周期性，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．