Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線方程；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-ax²（a∈R）．
∴f′（x）=e^x-2ax，
∴f′（0）=1，
即f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線方程為y-1=x，即y=x+1．
（Ⅱ）要使函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
則f′（x）=e^x-2ax≥0恒成立，
①當(dāng)x＞0時，2a≤

ex

x

成立，
設(shè)g（x）=

ex

x

，則g′（x）=

ex(x-1)

x2

，
由g′（x）=0得x=1，
當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜1時，g′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減．
∴g（x）_min=g（1）=e，∴a≤

e

2

．
②x＜0時，2a≥

ex

x

成立，
∵

ex

x

＜0，∴2a≥0，則a≥0；
又a=0，f′（x）=e^x≥0恒成立；
綜上，若函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則0≤a≤

e

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．