Question

10．若F（c，0）為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點(diǎn)，過F點(diǎn)作該雙曲線的一條漸近線的垂線與兩條漸近線交于A、B兩點(diǎn)，△AOB的面積為$\frac{12{a}^{2}}{7}$，則該雙曲線的離心率為$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)兩條漸近線的夾角為θ，由兩直線的夾角公式，可得tanθ=tan∠AOB，求出F到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為b，即有|OB|=a，△OAB的面積可以表示為$\frac{1}{2}$•a•atanθ，結(jié)合條件可得a，b的關(guān)系，再由離心率公式即可計算得到．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)兩條漸近線的夾角為θ，
則tanθ=tan∠AOB=$\frac{\frac{a}-（-\frac{a}）}{1+\frac{a}•（-\frac{a}）}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$，
設(shè)FB⊥OB，則F到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
即有|OB|=a，
則△OAB的面積可以表示為$\frac{1}{2}$•a•atanθ=$\frac{{a}^{3}b}{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{12{a}^{2}}{7}$，
解得$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合著較大的運(yùn)算量，屬于中檔題．