Question

已知各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₄＝2S₂＋8．

（1）求公差d的值；

（2）若數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)10，則這樣的數(shù)列至多有多少項(xiàng)；

（3）請(qǐng)直接寫出滿足（2）的項(xiàng)數(shù)最多時(shí)的一個(gè)數(shù)列（不需要給出演算步驟）．

Answer 1

（Ⅰ）d＝2；

（Ⅱ）（Ⅱ）至多有4項(xiàng)．

考慮到d＝2，且首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)10，所以可用枚舉法研究．

①當(dāng)a₁＝0時(shí)， 0²＋d＋2d＝0＋2＋4≤10，而0²＋d＋2d＋3d＝0＋2＋4＋6＞10，此時(shí)，數(shù)列至多3項(xiàng)；

②當(dāng)a₁＞0時(shí)，可得數(shù)列至多3項(xiàng)；

③當(dāng)a₁＜0時(shí)，a₁²＋a₁＋d＋a₁＋2d＋a₁＋3d≤10，即a₁²＋3a₁＋2≤0，此時(shí)a₁有解．

而a₁²＋a₁＋d＋a₁＋2d＋a₁＋3d＋a₁＋4d≤10，即a₁²＋4a₁＋10≤0，此時(shí)a₁無(wú)解．

所以a₁＜0時(shí)，數(shù)列至多有4項(xiàng)．

（Ⅲ）a₁＝－1時(shí)，數(shù)列為：－1，1，3，5；或a₁＝－2時(shí)，數(shù)列為：－2，0，2，4．