設橢圓E：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a，b＞0)      M(2.
      		2
      )，N(
      		6
      ，1)      ，O為坐標原點
      （Ⅰ）求橢圓E的方程；
      （Ⅱ）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒在兩個交點A，B且
      OA
      ⊥
      OE
      ？若存在，寫出該圓的方程，關求|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由．			
      


			
      

		
      
		
		
	
      
		
      
			
      
				
      
				
      分析：（1）把點M和N代入橢圓的標準方程，可求得a和b，進而可得橢圓E的方程．
      （2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且
      OA
      ⊥
      OB
      ，設該圓的切線方程為y=kx+m，直線和橢圓方程聯(lián)立，消去y，根據判別式大于0求得k和m的不等式關系，再根據使
      OA
      ⊥
      OB
      ，需使x1x2+y1y2=0，分別用k和m分別表示出x1x2和y1y2進而可求得k和m的關系，代入k和m的不等式關系中求得m的范圍，因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，求得半徑，圓的方程可得．此時圓的切線y=kx+m都滿足，進而判定存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且
      OA
      ⊥
      OB
      ．最后用k表示出|AB|，根據k的范圍確定|AB|的范圍．
      解答：解：（1）因為橢圓E：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1      （a，b＞0）
      過M（2，
      		2
      ），N（
      		6
      ，1）兩點，
      所以
      4
      a2
      +
      2
      b2
      =1
      6
      a2
      +
      1
      b2
      =1
      解得
      1
      a2
      =
      1
      8
      1
      b2
      =
      1
      4

      所以
      a2=8
      b2=4
      橢圓E的方程為
      x2
      8
      +
      y2
      4
      =1
      （2）假設存在圓心在原點的圓，
      使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，
      且
      OA
      ⊥
      OB
      ，設該圓的切線方程為y=kx+m解方程組
      y=kx+m
      x2
      8
      +
      y2
      4
      =1

      得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
      則△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，
      即8k2-m2+4＞0
      x1+x2=-
      4km
      1+2k2
      x1x2=
      2m2-8
      1+2k2
      ，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
      k2(2m2-8)
      1+2k2
      -
      4k2m2
      1+2k2
      +m2=
      m2-8k2
      1+2k2

      要使
      OA
      ⊥
      OB
      ，
      需使x1x2+y1y2=0，
      即
      2m2-8
      1+2k2
      +
      m2-8k2
      1+2k2
      =0      ，
      所以3m2-8k2-8=0，所以k2=
      3m2-8
      8
      ≥0      又8k2-m2+4＞0，
      所以
      m2＞2
      3m2≥8
      ，所以m2≥
      8
      3
      ，
      即m≥
      2
      		6
      3
      或m≤-
      2
      		6
      3
      ，
      因為直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
      所以圓的半徑為r=
      |m|
      		1+k2
      ，
      r2=
      m2
      1+k2
      =
      m2
      1+
      3m2-8
      8
      =
      8
      3
      ，
      r=
      2
      		6
      3
      ，所求的圓為x2+y2=
      8
      3
      ，
      此時圓的切線y=kx+m都滿足m≥
      2
      		6
      3
      或m≤-
      2
      		6
      3
      ，
      而當切線的斜率不存在時切線為x=±
      2
      		6
      3
      與橢圓
      x2
      8
      +
      y2
      4
      =1      的兩個交點為(
      2
      		6
      3
      ，±
      2
      		6
      3
      )      或(-
      2
      		6
      3
      ，±
      2
      		6
      3
      )      滿足
      OA
      ⊥
      OB
      ，綜上，
      存在圓心在原點的圓x2+y2=
      8
      3
      ，
      使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且
      OA
      ⊥
      OB
      ．
      因為
      x1+x2=-
      4km
      1+2k2
      x1x2=
      2m2-8
      1+2k2
      ，
      所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-
      4km
      1+2k2
      )2-4×
      2m2-8
      1+2k2
      =
      8(8k2-m2+4)
      (1+2k2)2
      ，|AB|=
      		(x1-x2)2+(y1-y2)2
      =
      		(1+k2)(x1-x2)2
      =
      		(1+k2)
      8(8k2-m2+4)
      (1+2k2)2
      =
      32
      3
      •
      4k4+5k2+1
      4k4+4k2+1
      =
      32
      3
      [1+
      k2
      4k4+4k2+1
      ]
      ，
      ①當k≠0時|AB|=
      32
      3
      [1+
      1
      4k2+
      1
      k2
      +4
      ]

      因為4k2+
      1
      k2
      +4≥8      所以0＜
      1
      4k2+
      1
      k2
      +4
      ≤
      1
      8
      ，
      所以
      32
      3
      ＜
      32
      3
      [1+
      1
      4k2+
      1
      k2
      +4
      ]≤12      ，
      所以
      4
      3
      		6
      ＜|AB|≤2
      		3
      當且僅當k=±
      		2
      2
      時取”=”．
      2當k=0時，|AB|=
      4
      		6
      3
      點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．
      				
      
							
      
			
      
			
      
			
			
      
		
      
	
      

		
      

		





			
      
		
      
		
				
      
				練習冊系列答案
		
      
		
				
			

					
      
				相關習題
			
      
						
		
      
			
      
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
      

						
      （2012•安徽模擬）設橢圓E：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1      （a＞b＞0）過M（2，
      		2
      ），N（
      		6
      ，1）兩點，O為坐標原點，
      （1）求橢圓E的方程；
      （2）是否存在圓心在原點的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且
      OA 
      ⊥
      OB 
      ？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|取值范圍；若不存在，說明理由．
      

			
      

			
      
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
      

						
      設橢圓E：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1      （a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，A是橢圓E上一點，AF1⊥F1F2，原點到直線AF2的距離是
      1
      3
      |OF1|．△AF1F2 的面積是等于橢圓E的離心率e，
      （Ⅰ）求橢圓E的方程；
      （Ⅱ），若直線l：y=x+m與橢圓E交于B、C兩點，問：是否存在實數(shù)m使∠BF2C為鈍角？如果存在，求出m的范圍；如果不存在，說明理由．
      

			
      

			
      
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
      

						
      設橢圓E：
      x2
      a2
      -
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0）的離心率為
      		2
      2
      ，已知A（a，0），B（0，-b），且原點O到直線AB的距離為
      2
      		3
      3

      （Ⅰ）  求橢圓E的方程；
      （Ⅱ）已知過點M（1，0）的直線交橢圓E于C，D兩點，若存在動點N，使得直線NC，NM，ND的斜率依次成等差數(shù)列，試確定點N的軌跡方程．
      

			
      

			
      
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
      

						
      設橢圓E：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0）的離心率為
      		2
      2
      ，且過點M（2，
      		2
      ），O為坐標原點．
      （Ⅰ）求橢圓E的方程；
      （Ⅱ）是否存在以圓心為原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且
      OA
      ⊥
      OB
      ？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由．
      

			
      

			
      
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