Question

8．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E是棱AB上一點(diǎn)
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E在AB上移動時，三棱錐D-D₁CE的體積是否變化？若變化，說明理由；若不變，求這個三棱錐的體積
（Ⅱ） 當(dāng)點(diǎn)E在AB上移動時，是否始終有D₁E⊥A₁D，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （ I）由于△DCE的體積不變，點(diǎn)E到平面DCC₁D₁的距離不變，因此三棱錐D-D₁CE的體積不變．
（II）利用正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定余弦值定理可得A₁D⊥平面AD₁E，即可證明．

解答 解：（ I）三棱錐D-D₁CE的體積不變，
∵S_△DCE=$\frac{1}{2}DC×AD$=$\frac{1}{2}×2×1$=1，DD₁=1．
∴${V}_{D-{D}_{1}CE}$=${V}_{{D}_{1}-DCE}$=$\frac{1}{3}D{D}_{1}×{S}_{△DCE}$=$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$．
（ II）當(dāng)點(diǎn)E在AB上移動時，始終有D₁E⊥A₁D，
證明：連接AD₁，∵四邊形ADD₁A₁是正方形，
∴A₁D⊥AD₁，
∵AE⊥平面ADD₁A₁，A₁D⊆平面ADD₁A₁，
∴A₁D⊥AB．
又AB∩AD₁=A，AB?平面AD₁E，
∴A₁D⊥平面AD₁E，
又D₁E?平面AD₁E，
∴D₁E⊥A₁D．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．